Curiosidades numéricas

Productos curiosos 


Algunos números, resultantes de los factores de multiplicación de números enteros, presentan sus dígitos dispuestos en una forma única. 
Estas cifras, que aparecen en los productos llamados curiosos, han sido objeto de la atención de los matemáticos. 
Citemos algunos ejemplos. Tome el número 12345679 en el que aparecen, en orden aumento de sus dígitos, todas las cifras significativas, excepto de 8. Multiplique este número por múltiplos de 9, a saber: 9, 18, 27, 36, etc., y obtenemos: 


12 345 679 x 9 = 111 111 111
12 345 679 x 18 = 222 222 222
12 345 679 x 27 = 333 333 333
12 345 679 x 36 = 444 444 444 

Vemos que el producto resulta en nueve dígitos iguales. 
Los productos que indicamos abajo, tienen un multiplicando constante igual a nueve: 

9 x 9 = 81
9 x 98 = 882
9 x 987 = 8 883
9 x 9 876 = 88 884 

presentan también una singularidad. En estas cifras el número 8 repetido 1, 2, 3 veces, etc., como lo señala el último dígito de la derecha. 


Números amigos 

Ciertas propiedades de números enteros reciben nombres curiosos, que a menudo ha sorprendido a los espíritus con la guardia baja, o no muy afectos a transformaciones aritméticas múltiples. Algunos matemáticos buscan dentro de la ciencia un ancho campo abierto, donde pueden hacer aterrizar las fantasías más extravagantes, con una pericia semejante a la de grandes pilotos.
Citemos, para justificar esta aseveración, los casos de los llamados números amigos, que han sido minuciosamente estudiados en varios compendios.
¿Cómo averiguar, preguntará el lector, aquellos números atrapados por los lazos de amistades matemáticas? ¿Qué métodos usará el geómetra, para descubrir, dentro de una serie numérica, los elementos conectados por la autoestima?
En dos palabras puedo explicar lo que es el concepto de los números amigos de las matemáticas.
Consideremos, por ejemplo, los números 220 y 284.
El número 220 es divisible exactamente por los números siguientes:

1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110 

Son esos los divisores de 220 y que son menores que 220.
El número 284 es, a su vez, divisible exactamente por los siguientes números:

1, 2, 4, 71 y 142 

son esos los divisores de 284, y que son menores que 284.
Pues bien, hay entre esos dos números una coincidencia realmente notable. Si sumamos los divisores de 220 arriba indicados, vamos a obtener una suma igual a 284; si sumamos los divisores de 284, el resultado será igual a 220. Por eso dicen los matemáticos que esos dos números son amigos.
Hay una infinidad de números amigos, pero ahora calcularemos sólo 26 pares.
Tomemos por ejemplo el número 6, que es divisible por los números uno, dos y tres. La suma de esos números (1 + 2 +3) es igual a seis. Concluimos entonces, que el número seis es amigo del mismo 6, o sea es amigo de sí mismo.
Ya hubo quien quisiese inferir de ese hecho, que el número 6 es un número egoísta.
Pero eso, como diría Kipling, ya es otra historia...



El número 142857 

Cuando nos referimos a productos curiosos, procuramos destacar las singularidades presentan ciertos números con la disposición original de sus dígitos. El número 142857 es, en este género, uno de los más interesantes de la matemática y puede ser incluido entre los llamados "números cabalísticos".
Veamos las transformaciones curiosas que podemos efectuar con ese.
Multipliquémoslo por 2, el producto será:

142 857 x 2 = 285 714 

Vemos que los dígitos del producto son los mismos del número dado, escritos, sin embargo, en otro orden.
Efectuemos el producto del número 142857 por 3.

142 857 x 3 = 428 571 

Otra vez observamos la misma singularidad: los dígitos del producto son precisamente los mismos del número pero en un orden alterado.
Lo mismo ocurre multiplicando por cuatro, cinco y seis.

142 857 x 4 = 571 428
142 857 x 5 = 714 285
142 857 x 6 = 857 142 

Una vez que llegamos al factor siete, vamos a notar otra particularidad. El número 142 857 multiplicado por siete da como producto

999 999 

¡Número formado por seis nueves!
Experimenten multiplicar el número 142 857 por ocho. El producto será:

142 857 x 8 = 1 142 856 

Todos los dígitos del número que aparecen ahora en el producto con excepción del 7. El 7 del número dado fue de compuesto en dos partes, seis y uno. El dígitos seis se ubicó a la derecha y un dígito uno fue a la izquierda para completar el producto.
Veamos ahora lo que acontece cuando multiplicamos el número 142 857 por nueve:

142 857 x 9 = 1 285 713 

Observen con atención ese resultado el único dígito del multiplicando que no figura en el producto es el cuatro. ¿Qué habrá acontecido con ese cuatro? Aparece descompuesto en dos partes, uno y tres colocados en los extremos del producto.
Del mismo modo podríamos verificar las irregularidades que presenta número 142 857 cuando es multiplicado por 11, 12, 13, 15, 17, 18, etc.
Algunos autores llegan a afirmar que hay una especie de cohesión entre los dígitos del número 142 857, que no permiten que esos dígitos se separen.
Varios geómetras notables, Fourrey, E. Lucas, Rouse Bali, Guersey, Legendre y muchos otros, estudiaron minuciosamente las propiedades del número 142 857.
Fourrey, en su libro "Récréations Arithmétiques", presenta el producto del número 142 857 por 327 451. Al efectuar su operación, notamos una interesante disposición numérica: las columnas de dos productos parciales están formadas por dígitos iguales.
Retomemos el número 142 857 y determinemos el producto de ese numero por los factores 4, 14, 21, 28, etc. múltiplos de 7. Estos son los resultados:

142 857 x 7 = 999 999
142 857 x 14 = 1 999 998
142 857 x 21 = 2 999 997
142 857 x 28 = 3 999 996 

Los resultados presentan una disposición muy interesante. El primer producto es un número formado por seis dígitos iguales a 9; el segundo producto aparecen solo cinco dígitos iguales a 9, siendo el sexto "descompuesto" en dos partes que fueron a ocupar los extremos de los resultados. Y así sucesivamente.
¿Cómo aparece en aritmética ese número 142 857?
Si convertimos la fracción ordinaria 1/7 a su forma decimal, vamos a tener la cifra periódica simple cuyo período es precisamente 142 857.
Quien ya ha estudiado fracciones ordinarias y decimales podrá comprender fácilmente que las fracciones ordinarias 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 y 6/7, cuando se convierten en fracciones decimales tendrán también fracciones periódicas simples cuyos períodos están formados por los dígitos 1, 4, 2, 8, 5 y 7, que aparecerán en cierto orden, conforme al valor del numerador. Esta es la explicación de la famosa "cohesión" aritmética pretendida por algunos investigadores.
Para los antiguos matemáticos, el número 142 857 era "cabalístico", con propiedades "misteriosas"; estudiado, sin embargo, desde el punto de vista aritmético, no pasa de un período de una fracción periódica simple.
Lo mismo ocurre con los períodos en las fracciones decimales 1/17, 1/23, etc.
El número 142 857, que algunos algebristas denominan "número impertinente" no es, por tanto, el único en presentar particularidades en relación a la permanencia de algunos dígitos en diversos productos.



Disposición curiosa 

Tomemos el cuadrado de 4 y el cuadrado de 34:

= 16
34 = 1156 

notaremos una deposición curiosa: para pasar de 16 (cuadrado de cuatro) a 1156 (cuadrado de 34) es suficiente colocar el 15 entre los dígitos de 16.
Experimentemos ahora colocar entre los dígitos del cuadrado de 34 esto es, entre los dígitos de 1156 el 15.
Vamos a formar de ese modo el número 111.556 que es precisamente el cuadrado de 334.
No es necesario llevar adelante la investigación. Ya descubrimos una deposición curiosa que presentaban los dígitos que formaban los cuadrados de los números 4, 34, 334, 3334, etc. cada uno de ellos es obtenido por la intercalación hecha del 15 entre los dígitos del anterior. Aquí los resultados:

= 16
34 = 1156
334 = 111556
3334 = 11115556

Sofisma algebraico 
2 = 3 

Vamos aprobar que el número 2 es igual a 3.
Tomemos la igualdad:

2 - 2 = 3 - 3

La expresión 2 - 2 puede ser escrita de la forma 2(1 - 1), y la diferencia 3 - 3 es equivalente a 3(1 - 1). Tenemos entonces:

2 (1 - 1) = 3 (1 - 1)
Cancelando en ambos miembros de esa igualdad el factor común tenemos:

2 = 3
resultado que obviamente expresa un absurdo.

Observación 

El error del sofisma consiste en dividir los miembros de un igualdad por 1 -1, esto es por 0, operación que no está permitida en álgebra. 




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