Ultrafiltros de Hausdorff


Una manera est ándar de producir modelos no-est ándar es la construcci ón
de ultraproductos. Sobre un producto cartesiano in finito se de fine una
relaci ón de equivalencia m odulo un ultrafi ltro, y la estructura
resultante termina por hacer verdaderos a los enunciados (de primer orden)
que lo hayan sido en “muchos" de los factores (Teorema de Los). Si todos
los factores son id énticos, la construcci ón se llama ultrapotencia. A
pesar de hacer verdaderos exactamente a los mismos enunciados, muchas
propiedades del factor ya no se cumplen en la ultrapotencia. Algunas de
estas propiedades dependen del ultra filtro sobre el que se construye la
ultrapotencia. Una de éstas es la propiedad de Hausdorff .
Cuando una estructura de alg un tipo tiene una extensi ón (piense el
lector en los reales como extensi ón de los racionales), en ésta las
relaciones de la primera se interpretan tambi én  (piense el lector en los
racionales   ordenados como es usual, y que la interpretaci ón del orden
de los racionales tambi en tiene una extensi on: el orden de los reales).
De este modo, cada relaci on R entre n umeros naturales se interpreta como
una relaci on  *R en la ultrapotencia * N. Si el lector piensa a cada
subconjunto A de N como una relaci on unitaria, entonces  *A se deber á
interpretar como una relaci ón unitaria en  *N. La topolog  a discreta de
N consta de todos los subconjuntos de N, y con la familia de todos los
conjuntos  A con A  contenido en  N podemos generar una topologí  a en
* N, que es conocida como la topolog  ía S o topolog  ía estrella. Tal
topolog  ía est a lejos de ser discreta... incluso puede no ser
Hausdor ff.

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